FormalLanguageConstrainedPathQuerying · ksenmel · Oct 30, 2025 · Nov 1, 2025 · Nov 2, 2025 · Nov 5, 2025
diff --git a/tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.tex b/tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.tex
@@ -58,7 +58,6 @@
 \input{FormalLanguageTheoryIntro}
 \input{RegularLanguages}
 \input{Context-Free_Languages}
-% \input{Multiple_Context-Free_Languages} % FIXME: Переписать главу
 % %\input{ConjunctiveAndBooleanLanguages}
 \input{FLPQ}
 \input{RPQ}
@@ -70,6 +69,7 @@
 \input{GLL-based_CFPQ}
 \input{GLR-based_CFPQ}
 % %\input{CombinatorsForCFPQ}
+\input{Multiple_Context-Free_Languages} % FIXME: Переписать главу
 \input{Multiple_Context-Free_Language_Reachability} % FIXME: Исправить главу
 % %\input{DerivativesForCFPQ}
 % %\input{CFPQ_to_Datalog}

diff --git a/tex/Multiple_Context-Free_Languages.tex b/tex/Multiple_Context-Free_Languages.tex
@@ -1,6 +1,10 @@
-\chapter[Многокомпонентные контекстно-свободные языки]{Многокомпонентные контекстно-свободные языки\footnote{Мы дадим лишь базовые определения и приведём краткий обзор данного класса. В качестве отправной точки для более детального изучения можно порекомендовать материалы, подготовдленные Сильваном Салвати (Sylvain Salvati): \url{https://www.labri.fr/perso/salvati/downloads/cours/esslli/}}}
+\chapter[Многокомпонентные контекстно-свободные языки]{Многокомпонентные контекстно-свободные языки}
 
-\textit{Многокомпонентны контекстно-свободные языки} (и соответствующий класс грамматик) --- это строгое расширение контекстно-свободных языков (грамматик), обладающее рядом свойств !!!
+\textit{Многокомпонентные контекстно-свободные грамматики (MCFG)} \sidenote{
+    Мы дадим лишь базовые определения и приведём краткий обзор данного класса. В качестве отправной точки для более детального изучения можно порекомендовать материалы, подготовленные Сильваном Салвати (Sylvain Salvati) \url{https://www.labri.fr/perso/salvati/downloads/cours/esslli/}.
+} --- это строгое расширение контекстно-свободных грамматик для описания синтаксиса естественных языков.
+
+Класс языков, порождаемых MCFG (называемых многокомпонентными контекстно-свободными языками, MCFL), входят в класс контекстно-зависимых языков и включают в себя класс контекстно-свободных языков.
 
 \begin{definition}
     \textit{m-MCFG(r)} это четвёрка $\langle \Sigma, N, S, P \rangle$
@@ -13,195 +17,91 @@
       A(s_1,\ldots,s_k) \leftarrow B_1(x_1^1,\ldots,x_{k_1}^1), \ldots, B_n(x_1^n,\ldots,x_{k_n}^n)
       $$
       \begin{itemize}
-        \item $A$ --- нетерминал ранга $k$, $B_i$ --- нетерминалы ранга $k_i$, $n \leq r$
+        \item $A$ --- нетерминал ранга $k$, $B_i$ --- нетерминалы ранга $k_i$, $n \leq r$;
         \item Все $x^i_j$ попарно различны (переменные)
-        \item $s_i \in (\Sigma \cup X)^*, X = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{k_i} {x^i_j}$
+        \item Строки $s_i \in (\Sigma \cup X)^*, X = \bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^{k_i} {x^i_j}$
+        \item Каждая $x^i_j$ встречается не более одного раза в последовательности $s_1,\ldots, s_k$. Если допустить несколько вхождений, то это PMCFG.
       \end{itemize}
   \end{itemize}
-  \end{definition}
+\end{definition}
 
-Приведём примеры многокомпонентных контекстно-свободных грамматик. Для начал рассмотрим грамматики для известных нам контекстно-свободных языков:
-\begin{itemize}
-    \item язык вложенных скобок (\ref{grm:nestedbrs_cfg} и \ref{grm:nestedbrs_mcfg}, соответственно);\\
-    \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
-        \begin{align}\label{grm:nestedbrs_cfg}
-        S &\to a S b \nonumber \\
-        S &\to \varepsilon
-        \end{align}
-    \end{minipage}
-    ~
-    \begin{minipage}[t]{0.2\textwidth}
-    \end{minipage}
-    ~
-    \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
-        \begin{align}\label{grm:nestedbrs_mcfg}
-        S(axb) & \leftarrow S(x) \nonumber \\
-        S(\varepsilon) & \leftarrow
-        \end{align}
-    \end{minipage}
-    \item язык Дика на одном типе скобок(\ref{grm:d1_cfg} и \ref{grm:d1_mcfg}, соответственно).\\
-    \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
-        \begin{align}\label{grm:d1_cfg}
-        S &\to a S b S \nonumber \\
-        S &\to \varepsilon
-        \end{align}
-    \end{minipage}
-    ~
-    \begin{minipage}[t]{0.2\textwidth}
-    \end{minipage}
-    ~
-    \begin{minipage}[t]{0.4\textwidth}
-        \begin{align}\label{grm:d1_mcfg}
-        S(ax_1bx_2) & \leftarrow S(x_1), S(x_2) \nonumber \\
-        S(\varepsilon) & \leftarrow
-        \end{align}
-    \end{minipage}
-
-\end{itemize}
+MCFG позволяет правилам грамматики оперировать несколькими компонентами одновременно. Нетерминалы в MCFG могут выводить не одну строку, а кортеж из нескольких строк.
+Также, можно произвольно комбинировать компоненты — переставлять их, дублировать, вставлять между ними терминалы.
 
-Теперь рассмотрим грамматику для языка $L = \{a^nc^mb^nd^m \mid n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \}$, не являющегося контекстно-свободным:
-    \begin{align*}
-        S(x_1 y_1 x_2 y_2) & \leftarrow P(x1,x2),Q(y_1,y_2) \\
-        P(ax_1, bx_2) & \leftarrow P(x_1,x_2) \\
-        P(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow  \\
-        Q(cx_1, dx_2) & \leftarrow Q(x_1,x_2) \\
-        Q(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow
-    \end{align*}
-
+В литературе можно еще встретить следующую запись правил вывода:
+$$
+A_0 \leftarrow f[A_1, A_2,\ldots,A_q]
+$$
+где $f$ — функция, аргументы и значения которой представляют собой кортежи строк, и
+удовлетворяет следующим условиям:
+\begin{enumerate}
+  \item Каждый компонент значения $f$ представляет собой конкатенацию некоторых константных строк и некоторых компонентов своих аргументов
+  \item Каждый компонент не может встречаться в $f$ более одного раза.
+\end{enumerate}
 
-
 
-
-    Расширения MCFG
-    \begin{enumerate}
-      \item \textbf{PMCFG} (parallel MCFG)
-      $$
-      A(x, ax) \leftarrow B(x)
-      $$
-
-      \item
-      $$
-      A(x) \leftarrow B(x),C(x)
-      $$
-      \item \textbf{simpleLMG}
-      $$
-      A(x, x) \leftarrow B(x),C(x)
-      $$
-    \end{enumerate}
+Приведём примеры многокомпонентных контекстно-свободных грамматик.
+Для начала рассмотрим грамматики для известных нам контекстно-свободных языков и перепишем их в MCFG грамматику:
 
-    $MCFL \varsubsetneq PMCFL \varsubsetneq simpleLMG = P$
-
-    $\{a^{2^n} \mid n\geq 0\} \in PMCFL - MCFL $
-
-    $S(xx) \leftarrow S(x)$
-
-    $S(a) \leftarrow $
+\begin{itemize}
+    \item \textbf{Язык вложенных скобок}
 
-    Разновидности MCFG
-  \begin{itemize}
-    \item \textbf{Неудаляющая} --- $\forall i \in \{i,\ldots,n\}, j\in \{1,\ldots,k_i\} \ x^i_j \text{ используется в } s_1,\ldots,s_k $    
-    \item \textbf{Непереставляющая} --- $\forall i \in \{i,\ldots,n\}, j,k\in \{1,\ldots,k_i\}, \text{если} j < k, \text{ то } x^i_j \text{ встречается в } s_1,\ldots,s_k  \text{ перед } x^i_k$
-    \item \textbf{Well-nested} --- неудаляющая, непереставляющая и
     \begin{align*}
-    &\forall i,i' \in \{i,\ldots,n\}, i\neq i', \\
-    &j\in \{1,\ldots,k_i-1\}, j\in \{1,\ldots,k_{i'}-1\},\\
-    &s_1\cdots s_k \notin (\Sigma \cup X)^* x^i_j (\Sigma \cup X)^* x^{i'}_{j'} (\Sigma \cup X)^* x^i_{j+1} (\Sigma \cup X)^* x^{i'}_{j'+1}(\Sigma \cup X)^*
+      S &\rightarrow aSb &\quad& S(axb) \leftarrow S(x) \\
+      S &\rightarrow \varepsilon &\quad& S(\varepsilon) \leftarrow
     \end{align*}
-  \end{itemize}
 
-  Пример well-nested MCFG
-  \begin{itemize}    
-    %\item[\faCheck] [\faTimes]
-    \item[\faCheck] $A(\highlight[pink]{x_1},\highlight{z_1,z_2},\highlight[pink]{x_2},\highlight[green]{y_1,y_2,y_3},\highlight[pink]{x_3}) \leftarrow B(x_1,x_2,x_3),C(y_1,y_2,y_3),D(z_1,z_2)$
-    \item[\faTimes] $A(\highlight{z_1},\highlight[pink]{x_1},\highlight[green]{y_1},\highlight[pink]{x_2},\highlight{z_2},\highlight[green]{y_2},\highlight[pink]{x_3},\highlight[green]{y_3}) \leftarrow B(x_1,x_2,x_3),C(y_1,y_2,y_3),D(z_1,z_2)$
-  \end{itemize}
+    \item \textbf{Язык Дика на одном типе скобок}
 
-  \begin{theorem}[genaral MCFG]
-    \begin{align*}
-    &\forall L \in \text{m-MCFG } \exists n \geq 1 \ \underline{\boldsymbol{\exists} z} \in L (|z| \geq n)  \\
-    &\exists \text{ разбиение } z=u_1 v_1 w_1 s_1 u_2 \ldots u_m v_m w_m s_m u_{m+1}, \Sigma|v_js_j| \geq 1 \\
-    &\forall i \geq 0: z_i = u_1 v_1^i w_1 s_1^i u_2 \ldots u_m v_m^i w_m s_m^i u_{m+1} \in L
+     \begin{align*}
+      S &\rightarrow aSbS &\quad& S(ax_1bx_2) \leftarrow S(x_1), S(x_2) \\
+      S &\rightarrow \varepsilon &\quad& S(\varepsilon) \leftarrow
     \end{align*}
-  \end{theorem}
 
-  \begin{theorem}[well-nested MCFG]
-    \begin{align*}
-    &\forall L \in \text{m-wnMCFG } \exists n \geq 1 \ \underline{\boldsymbol{\forall} z} \in L (|z| \geq n)  \\
-    &\exists \text{ разбиение } z=u_1 v_1 w_1 s_1 u_2 \ldots u_m v_m w_m s_m u_{m+1}, \Sigma|v_js_j| \geq 1 \\
-    &\forall i \geq 0: z_i = u_1 v_1^i w_1 s_1^i u_2 \ldots u_m v_m^i w_m s_m^i u_{m+1} \in L
-    \end{align*}
-  \end{theorem}
-
-  Иерархии внутри MCFL
-  \begin{theorem}
-  $(m*(k-1))$-$MCFL(r-k) \subseteq m$-$MCFL(r) $ если $1 \leq k \leq r - 2$
-  \end{theorem}
-
-  \begin{theorem}[Seki et al]
-  $L_{m+1} = \{a_1^nb_1^n\cdots a_{m+1}^n b_{m+1}^n \mid n\in \mathbb{N}\}$ является $(m+1)$-$MCFL(1)$, но не является $m$-$MCFL(r)$ ни для какого $r$
-  \end{theorem}  
-
-
-\begin{figure}
-    \includegraphics[width=\textwidth]{figures/mcfg/mcfg.pdf}
-    \label{fig:mcfg_hierarachy_1}    
-    \caption{Иерархия по $m$}
-\end{figure}  
-
-  Иерархия для $m=1$
- \begin{theorem}
-  1-MCFL = CFL
- \end{theorem}
-
- \begin{theorem}
-  1-MCFL(1) $\varsubsetneq$ 1-MCFL(2)
- \end{theorem}
-
- \begin{theorem}
-  1-MCFL($r$) = 1-MCFL($r+1$), $r\geq2$
- \end{theorem}
-
- Иерархия для $m=2$
- \begin{theorem}[Ramow, Satta]
-  2-MCFL(2) = 2-MCFL(3)
- \end{theorem}
-
- \begin{theorem}
- Если $m>2$ или $r>2$, то m-MCFL(r) $\varsubsetneq$ m-MCFL(r+1)
- \end{theorem}
-
-\begin{figure}
-    \includegraphics[width=\textwidth]{figures/mcfg/mcfg_2.pdf}
-    \label{fig:mcfg_hierarachy_2}    
-    \caption{Иерархия по $r$}
-\end{figure}  
-
-
-Про MIX и $O_n$
+    В MCFG-варианте ранг $S$ равен двум, то есть $S$ возвращает две компоненты. Такая грамматика записывается как 2-MCFG.
 
-\begin{itemize}
-    \item $mix = \{\omega \in \{a,b\}^* \mid |\omega|_a = |\omega|_b \}$ --- контекстно-свободный язык
-
-    \item $MIX = \{\omega \in \{a,b,c\}^* \mid |\omega|_a = |\omega|_b = |\omega|_c\}$ --- MCFL? Хотелось верить, что нет
-    \begin{itemize}
-      \item \href{https://hal.inria.fr/inria-00564552/document}{MIX is a 2-MCFL and the word problem in $\mathbb{Z}^2$ is solved by a third-order collapsible pushdown automaton, Sylvain Salvati, 2011}~\cite{salvati:inria-00564552}
-    \end{itemize}    
-    \item $O_2=\{\omega \in \{a,\overline{a},b,\overline{b}\}^* \mid |\omega|_a=|\omega|_{\overline{a}} \wedge |w|_b=|w|_{\overline{b}}\}$
-    \item $O_n=\{\omega \in \{a_1,\overline{a_1},a_2,\overline{a_2},\ldots,a_n,\overline{a_n}\}^* \mid |\omega|_{a_1}=|\omega|_{\overline{a_1}} \wedge |w|_{a_2}=|w|_{\overline{a_2}} \wedge \cdots \wedge |w|_{a_n}=|w|_{\overline{a_n}}\}$
-    \item $MIX_n = \{\omega \in \{a_1,\ldots,a_n\}^* \mid |\omega|_{a_1} = |\omega|_{a_2} =\cdots = |\omega|_{a_n}\}$    
-    \item $MIX_n$ регулярно эквивалентен $O_n$ (существует алгоритм построения грамматики одного языка по грамматике другого)
-    \begin{itemize}
-      \item \href{https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01771670/document}{$O_n$ is an n-MCFL, Sylvain Salvati, 2018}~\cite{GEBHARDT202241}
-    \end{itemize}
-  \end{itemize}
-
+\end{itemize}
 
+Теперь рассмотрим грамматику для языка $L = \{a^nc^mb^nd^m \mid n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \}$, не являющегося контекстно-свободным, но выразимого в 2-MCFG(2) грамматике :
+\begin{align*}
+    S(x_1 y_1 x_2 y_2) & \leftarrow P(x1,x2),Q(y_1,y_2) \\
+    P(ax_1, bx_2) & \leftarrow P(x_1,x_2) \\
+    P(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow  \\
+    Q(cx_1, dx_2) & \leftarrow Q(x_1,x_2) \\
+    Q(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow
+\end{align*}
+
+\section{Расширения MCFG}
+
+Как было сказано раннее, в MCFG каждая переменная в левой части правила встречается ровно один раз в его правой части, и наоборот.
+Если мы откажемся от этого ограничения, мы получим более общие грамматики.
+
+\begin{enumerate}
+  \item \textbf{PMCFG} (Parallel Multiple Context-Free Grammar).\\
+  \\
+  PMCFG задает некоторое ограничение над MCFG.
+  В правилах PMCFG компоненты должны комбинироваться параллельно, без перемешивания между разными нетерминалами: $i$-й компонент результата формируется только из $i$-х компонентов правой части.
+
+  $$
+  A(xy, xz) \leftarrow B(x), C(y, z)
+  $$
+
+  \item \textbf{sLMG (Simple LMG, Simple Literal Movement Grammar)}.\\
+  \\
+  sLMG является ограниченным подклассом LMG (Literal Movement Grammar).
+  Общее определение LMG допускает любую комбинацию переменных и терминалов в компонентах левой и правой части правила.
+  LMG являются грамматическими формализмами, основанными на предикатах над строковыми кортежами и расширяют класс контекстно-свободных грамматик.
+
+  Предикатом будем называть синтаксическую единицу вида $A(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$, где A — нетерминальный символ (имя предиката),
+  $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ --- аргументы (последовательности терминалов и переменных).
+
+  Правила (так же называемые клаузы, clauses) в такой грамматике имеют вид $\varphi \leftarrow \psi_1, \psi_2, ..., \psi_m$, где $\phi$ --- предикат в левой части (голова),
+  $\psi_1, \psi_2, ..., \psi_m$ --- последовательность предикатов в правой части (тело). Клауза может инстанцироваться (т.е конкретные значения будут подставлены в аргументы) путем замены каждой переменной в клаузе на строку.\\
+  \\
+  \textbf{Simple LMG} — это подкласс LMG, где каждая клауза (правило) должна удовлетворять трём синтаксическим ограничениям:
   \begin{itemize}
-    \item Варианты леммы о накачке
-    \item Представимость конкретных языков
-    \begin{itemize}
-      \item Многомерный язык Дика: \href{https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-59620-3_5}{Towards a 2-Multiple Context-Free Grammar for the 3-Dimensional Dyck Language, Konstantinos Kogkalidis, Orestis Melkonian, 2019}~\cite{10.1007/978-3-662-59620-3_5}
-      \item Шафл языков Дика: \href{https://dl.acm.org/doi/10.1145/3093333.3009848}{Context-sensitive data-dependence analysis via linear conjunctive language reachability, Qirun Zhang, Zhendong Su et al, 2017}~\cite{10.1145/3009837.3009848}
-    \end{itemize}
-  \end{itemize}  
-
+    \item Non-combinatorial (некомбинаторность). Аргументы каждого $\psi_i$ должны быть переменными.
+    \item Bottom-up nonerasing (восходящая неудаляемость). Все переменные из каждого $\psi_i$ также должны встречаться в $\varphi$. Это означает, что правая часть не может вводить новые переменные --- все переменные должны "приходить" из левой части.
+    \item Bottom-up linear (восходящая линейность). Ни одна переменная не встречается в $\varphi$ более одного раза.
+  \end{itemize}
+\end{enumerate}